Lab

Testy zgodności

Testy zgodności, czyli testy pozwalające na weryfikowanie zgodności obserwowanych danych z zadanym rozkładem ciągłym.

Najpopularniejszą grupą testów są testy weryfikujące zgodność z rozkładem normalnym.

Hipoteza zerowa jest postaci

\(H_0 : F \in \{ N(\mu,\sigma):\mu \in R, \sigma\in R_+ \}\),

gdzie \(F\) to nieznany rozkład (z którego pochodzą obserwowane wartości \(x_i\)). Weryfikujemy hipotezę, że rozkład ten należy do rodziny rozkładów normalnych ale nie znamy średniej ani wariancji.

W pakiecie R testy normalności zostały zebrane w pakiecie nortest

dane1 <- c(96.19,98.06, 103.45, 99.81, 101.60, 104.33)
shapiro.test(dane1)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  dane1
## W = 0.96209, p-value = 0.8357

sf.test(dane1)

## 
##  Shapiro-Francia normality test
## 
## data:  dane1
## W = 0.97852, p-value = 0.9878

qqnorm(dane1)
qqline(dane1,col="red")

Test zgodności dla dwóch prób

Jednym z najbardziej popularnych testów zgodności dla dwóch prób jest test Kołomogorowa-Smirnowa, który w R zawarty jest w funkcji ks.test().

Weryfikuje on hipotezę zerową:

\(H_0:F=G\)

gdzie \(F\) to dystrybuanta (dla nieznanego rozkładu) pierszej próby a \(G\) to dystrybuanta (dla nieznanego rozkłądu) drugiej próby.

x<- runif(100)
y<- rnorm(100)
ks.test(x,y)

## 
##  Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  x and y
## D = 0.49, p-value = 7.475e-11
## alternative hypothesis: two-sided

qqplot(x,y)

# albo 
a<- rnorm(100)
b<- rnorm(100)
ks.test(a,b)

## 
##  Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  a and b
## D = 0.08, p-value = 0.9062
## alternative hypothesis: two-sided

qqplot(a,b)

Testy średniej dla jednej próby

t.test(dane1,mu=100)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  dane1
## t = 0.44609, df = 5, p-value = 0.6742
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 100
## 95 percent confidence interval:
##   97.26953 103.87714
## sample estimates:
## mean of x 
##  100.5733

wilcox.test(dane1,mu=100)

## 
##  Wilcoxon signed rank test
## 
## data:  dane1
## V = 12, p-value = 0.8438
## alternative hypothesis: true location is not equal to 100

Testy dla dwóch prób

Mając do dyspozycji dwa zbiory danych wpierw musimy zweryfikować tzw jednorodność wariancji. Służy do tego test F-Snedecora. Następnie możemy porównać czy średnie pochodzą z tej samej populacji korzystając z testu U-Manna-Whitneya (gdy rozkłady nie przeszły testu jednorodności wariancji) lub testu t-studenta dla dwóch średnich.

dane2 = c(99.7,99.8,102.54,99.32,99.45,103.43)
var.test(dane1,dane2)

## 
##  F test to compare two variances
## 
## data:  dane1 and dane2
## F = 3.0751, num df = 5, denom df = 5, p-value = 0.2431
## alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to 1
## 95 percent confidence interval:
##   0.4302955 21.9755225
## sample estimates:
## ratio of variances 
##           3.075056

t.test(dane1,dane2)

## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  dane1 and dane2
## t = -0.090119, df = 7.941, p-value = 0.9304
## alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -3.549551  3.282884
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##  100.5733  100.7067

wilcox.test(dane1,dane2)

## 
##  Wilcoxon rank sum test
## 
## data:  dane1 and dane2
## W = 20, p-value = 0.8182
## alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Zadanie 5 Zweryfikuj czy średni wzrost w grupie różni się w zależności od płci?

Testy \(\chi^2\) na niezależność

Test ten wykonuje się w celu zbadania związku między dwoma zmiennymi \(X\) i \(Y\). \(H_0\) dla tego testu jest stwierdzenie, iż zmienne \(X\) i \(Y\) są niezależne. Test ten bazuje tylko na porównaniu ze sobą wartości obserwowanych oraz wartości teoretycznych (obliczonych przy założeniu, że między zmiennymi nie ma żadnego związku). Zmienne \(X\) i \(Y\) zmieniają się na kilku poziomiach.

Przykład Zadano pacjentom pytanie “Czy antybiotyki działają na wirusy?”, natomiast odpowiadający odpowiadali “Tak”,“Nie”,“Nie wiem”.

Otrzymaliśmy następujące odpowiedzi:

Weryfikacja testu pozwoli odpowiedzieć na pytanie czy rodzaj odpowiedzi ma związek z płcią pacjenta?

Aby odpowiedzieć na to pytanie musimy wykonać test \(\chi^2\).

kob <- c(2789,770,455)
men <- c(2243,744,389)
chisq.test(cbind(kob,men))

## 
##  Pearson's Chi-squared test
## 
## data:  cbind(kob, men)
## X-squared = 9.8447, df = 2, p-value = 0.007282

Zatem na poziomie istotności \(\alpha=0.05\) odrzucamy hipotezę zerową. Co oznacza, że zmienne nie są niezależne.

Zadanie 6 Pewien produkt można wytworzyć trzema metodami produkcji. Wysunięto hipotezę, że wadliwość produkcji nie zależy od metody produkcji. W wylosowanej niezależnie próbie 270 sztuk otrzymano następujące wyniki:

Czy na poziomie \(\alpha=0.05\) jakość produkcji nie zależy od metody?